Bei der Gauß-Interpolation wird durch die vorliegenden Messwerte eine Interpolationsfunktion z(x, y) gelegt, die sich aus einer Linearkombination von Gauß'schen Glockenfunktionen für die Messpunkte zusammensetzt. Die Auswertung dieser Funktion in einem Interpolationspunkt liefert den Interpolationswert z für diesen Punkt.

 

Es seien n Messpunkte (x_i, y_i), i=1,...n, mit zugehörigen Messwerten z_i vorhanden.

 

Die Gauß'schen Glockenfunktionen (Grundfunktionen g_i) für die Messwerte sind Rotationsflächen mit ihrer Achse im zugeordneten Messpunkt (x_i, y_i):

 

mit m: Mittel aller Messpunktabstände zueinander.

 

Die Grundfunktionen werden linear zu einer Flächenfunktion verknüpft:

 

z(x, y) = b₁ g₁(x, y) + b₂ g₂(x, y) + ... + b_n g_n(x, y)

 

Die zur Linearkombination verwendeten Koeffizienten b_j sind unbekannt und bilden die Scharparameter der Flächenfunktion. Die Bestimmung der Scharparameter ergibt sich aus der Forderung, dass die Messwerte auf der durch die Flächenfunktion definierten Fläche liegen müssen. Für jeden Messpunkt i ergibt sich eine Bedingungsgleichung:

 

z_i = z(x_i, y_i) = b₁ g₁(x_i, y_i) + b₂ g₂(x_i, y_i) + ... + b_n g_n(x_i, y_i)

 

Dies führt zu einem symmetrischen (n x n) Gleichungssystem für die n Unbekannten b_i , i=1,...n.

 

Nach der Ermittlung der Unbekannten b_i kann für jeden Netzknoten bzw. für jeden Elementmittelpunkt mit den Koordinaten x und y der zugehörige Funktionswert durch Einsetzen in die Flächenfunktion z(x,y) berechnet werden.

 

Um die Schwingungen in der Gauß'schen Flächenfunktion z (x, y) auszugleichen, wird diese noch mit einer weiteren Flächenfunktion

 

Z = Z(x, y) = B₁ g₁(x, y) + B₂ g₂(x, y) + ... + B_n g_n(x, y)

 

skaliert, deren Koeffizienten B_i , i = 1, ... ,n durch die Bedingung

 

Z_i = Z(x_i, y_i) = B₁ g₁(x_i, y_i) + B₂ g₂(x_i, y_i) + ... + B_n g_n(x_i, y_i) = 1 für i=1,..,n.

 

bestimmt werden.

 

Der Interpolationswert I in einem Punkt (x, y) errechnet sich damit zu

 

I(x, y)= z(x, y) / Z(x, y).

 

Implementierung in SPRING

Die Implementierung in SPRING nutzt eine Parallelverarbeitung. Dadurch ist der Algorithmus extrem schnell und speichereffizient. Es sind keine weiteren Eingaben erforderlich:

Gauß-Eingabe

Die maximale Anzahl dient als obere Schranke für den Gleichungslöser.

 

 

 

Flächeninterpolation